Asíntotas

De entre toda la información que hay que extraer de una función antes de proceder a su representación gráfica, la detección de posibles asíntotas facilita la visualización del comportamiento general de la función.

En esta entrada veremos cómo calcular, si existen, y con la ayuda de Maxima, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

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Para la detección de posibles asíntotas verticales nos fijaremos en aquellos puntos en los que la función pueda presentar una discontinuidad de salto infinito, como valores en los que se anulen los denominadores o los argumentos de los logaritmos.

Por ejemplo, la función y = (x^2+1)/(x-2) presenta una discontinuidad de salto infinito en x=2, ya que

(%i1) y: (x^2+1)/(x^2-2);
                                     2
                                    x  + 1
(%o1)                               ------
                                     2
                                    x  - 2
(%i2) limit(y, x, sqrt(2));
(%o2)                             infinity

Como se ve, hemos guardado en la variable y la expresión de la función.

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Las asíntotas horizontales las obtenemos si calculamos los límites hacia los infinitos; si algunos de ellos es un número real, tenemos asíntota horizontal. Seguimos con la función anterior.

(%i3) limit(y, x, inf);
(%o3)                                  1
(%i4) limit(y, x, minf);
(%o4)                                  1

De modo que esta función tiene asíntota horizontal y=1, tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. Un gráfico ayuda a ver las tres asíntotas. Para hacer uso de la función gráfica draw2d necesitamos cargar antes en memoria la librería correspondiente.

(%i5) load(draw)$
(%i6) draw2d(
         explicit(y, x, -15, 15),
         yrange= [-20,20],
         grid=true) $

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El cálculo de las asíntotas oblicuas lo hacemos en dos pasos; primero obtenemos las pendientes de las rectas:

(%i7) y: sqrt((x+1)^2-10);
                                          2
(%o7)                         sqrt((x + 1)  - 10)
(%i8) limit(y/x, x, minf);
(%o8)                                 - 1
(%i9) limit(y/x, x, inf);
(%o9)                                  1

Así que tenemos asíntotas oblicuas a ambos lados, pues los límites, es decir las pendientes, son números reales distintos de cero. Calculamos ahora las ordenadas en origen:

(%i10) limit(y - (-1)*x, x, minf);
(%o10)                                - 1
(%i11) limit(y - (+1)*x, x, inf);
(%o11)                                 1

Así tenemos que esta función es asintótica por la derecha a la recta y=x+1 y por la izquierda a la recta y=-x-1.

(%i12) draw2d(
         explicit(y, x, -15, 15),
         grid=true)$

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