Límites

El cálculo de límites se hace con la función limit. Hay algunos símbolos que nos van a ser de ayuda:

• inf: es el más infinito,
• minf: es el menos infinito,
• plus: cuando nos acercamos por la derecha,
• minus: cuando nos acercamos por la izquierda,
• infinity: infinito, pero sin determinar el signo.

 Venga, unos ejemplos.

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Un límite cuando la variable independiente tiende a infinito. Siempre se pondrá como primer argumento la función, luego la variable independiente y, finalmente, el lugar hacia el que tiende la variable.

(%i1) limit(1/x, x, inf);
(%o1)                                 0

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Ahora hacemos que x se aproxime a menos infinito. En este caso, el denominador es un parámetro desconocido.

(%i2) limit(a/x, x, minf);
(%o2)                                 0

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Límite de un cociente de polinomios.

(%i3) limit((x^7+x^5-3*x+1)/(4*x^7-2*x^4+x-56), x, inf);
                                       1
(%o3)                                  -
                                       4

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Límite cuando x tiende a un número real.

(%i4) limit(log(x)/x^2, x, 5);
                                    log(5)
(%o4)                               ------
                                      25

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Un límite indeterminado.

(%i4) limit(2/(x-3), x, 3);
(%o4)                             infinity

Pero podemos afinar calculando los límites laterales, primero por la izquierda y luego por la derecha. Los resultados son, respectivamente, menos infinito y más infinito.

(%i5) limit(2/(x-3), x, 3, minus);
(%o5)                               minf
(%i6) limit(2/(x-3), x, 3, plus);
(%o6)                                inf

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Vamos a ver un pequeño truco que nos va a permitir ver en una igualdad el límite que queremos calcular junto con su resultado. Existe un operador en Maxima que se llama de comilla simple ('), cuya función es inhibir el cálculo de una expresión.

Se observa que escribimos lo mismo a ambos lados de la igualdad (copiar+pegar), pero a la izquierda utilizamos la comilla simple para que represente, sin calcular, el límite. En el lado derecho, al no poner la comilla simple, se hace efectivo el cálculo. Así queda una expresión más fácil de interpretar.

(%i7) 'limit((x^3+1)/(x^2-3), x, inf) = limit((x^3+1)/(x^2-3), x, inf);
                                       3
                                      x  + 1
(%o7)                        limit    ------ = inf
                             x -> inf  2
                                      x  - 3

(%i8) 'limit(sqrt(x^2+1) - x, x, inf) = limit(sqrt(x^2+1) - x, x, inf);
                                        2
(%o8)                   limit    (sqrt(x  + 1) - x) = 0
                        x -> inf
(%i9) 'limit((x^2+5)/(2-x), x, 2, minus) = limit((x^2+5)/(2-x), x, 2, minus);
                                      2
                                     x  + 5
(%o9)                        limit   ------ = inf
                             x -> 2- 2 - x

Los resultados que se muestran aquí en formato de texto no hacen justicia a los que muestran los interfaces gráficos que habitualmente los usuarios utilizan para hacer sus cálculos. A modo de ejemplo, incluimos una captura desde Wxmaxima.

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